Vom Wirbel zur reversiblen Thermodynamik
von Lothar Rohling

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Sechster Teil

Die zugrunde liegenden Daten werden z.Zt. aus einem alten Multiplan-Datenbestand rekonstruiert. Die dazugehörigen Tabellen sind daher hier nicht beigefügt.

Die Berechnung des Prozesses

Aus [39] ergibt sich nach Anwendung der CLAUSIUS-CLAPEYRONschen Gleichung für den Sattdampfdruck von Wasser:

p" = 610,7·e19,83·t/(273+t) N/m

und für das spezifische Volumen des Sattdampfes:

v" = 0,758·(273+t)·e-(19,83·t/(273+t)) m/kg.

Darin bedeuten:

p" = Sattdampfdruck über Wasser in N/m (Anlage 1a, Spalte 2)
v" = spezifisches Volumen des Sattdampfes in m/kg (Anl. 1a, Sp.3)
t = Sattdampftemperatur in Grad Celsius (Anlage 1a, Sp. 1)

Die Voruntersuchung zeigte zwar eine gute Übereinstimmung mit den Tafelwerten [40] im Temperaturbereich von -5° bis +28°C und einen Fehler von ca. ± 1%, da jedoch mit kleinen Differenzen gearbeitet werden muß, ist die Auswirkung auf das Ergebnis evtl. so groß, daß prinzipielle Bedenken bleiben könnten. Es wurde deshalb mit den Tafelwerten aus [40], extrapoliert bis auf -5°C gearbeitet, ergänzt aus [41].

Der Anschaulichkeit halber liegt dem Rechengang das klassische, quasistatische Kolbenmodell zugrunde, dessen Anfangsvolumen so groß ist, daß gerade 1 kg Wasser bei der vorausgesetzten Temperatur vollständig verdunsten kann.

Gerechnet wurde einmal mit der hurricantypischen Temperatur von 28°C und der üblichen Raumtemperatur von 20°C alternativ.

Der Kolben arbeitet auf der Gegenseite nicht gegen eine Atmosphäre, sondern gegen ein Vakuum. Die freiwerdende Energie wird in einer intelligenten Mechanik, die auch die Goldene Regel benutzen kann, abrufbar gespeichert.

Später ist zu erkennen, daß die Speicherung der mechanischen Energie in einer "Strömungs-Potentialadiabate", welche vom Standpunkt der reversiblen Hydrothermodynamik eigentlich eine Isotherme ohne äußere Arbeitsleistung, d.h. auch Drossellinie ist mit "gestörter" Kohärenz (Isentropie), bedingt durch den Vektorcharakter.

Die Expansion erfolgt in kleinen Teilschritten von Grad zu Grad.

In Spalte 4 wurde zwischen zwei Temperaturmarken der mittlere Druck p"m in N/m elementar errechnet. In Spalte 5 wurde die Differenz des spezifischen Volumens v errechnet. Das Produkt

p"m·v = e

ergibt die gewandelte mechanische Energie pro Teilschritt in Spalte 7.

Aufsummiert, einmal von 28° beginnend (Zeile 72, Spalte 7), ergibt sich die Gesamtenergie jeweils bis zu dem relevanten Punkt in Spalte 10 und ein anderes Mal von 20° beginnend (Zeile 56, Spalte 7) in Spalte 9 mit den Symbolen e20 und e28.

Die aus der Sattdampftafel übernommenen Werte der Enthalpiedifferenz in Spalte 6 (h'-h'') der Phasenwandlung sind Hauptnenner für die entnommene mechanische Energie pro Grad, abzüglich des bereits durch die Entwärmungsrate von jeweils einem Grad aufgebrachten Anteils von c·T aus der Adiabatenbeziehung

wobei c=1,835 kj/Grad kg die spezifische Wärmekapazität an der Sattdampflinie ist.

Das Ergebnis ist in Spalte 8 aufgelistet.

Setzt man voraus, daß das entstehende Kondensat im Augenblick des Entstehens aus dem Dampf entfernt wird, so muß noch eine kleine Ungenauigkeit korrigiert werden, da sich mit jedem Teilschritt der Kondensation die Bezugsgröße 1 kg etwas vermindert.

Y20, Y28 = y(1-y), siehe Spalten 15 und 16

Eine analoge Korrektur ist für die Volumina in den Spalten 13 und 14 vorgenommen worden:

V20 = y20 (1 - y20) und V28 = y28  (1 - y 28)

Ebenso läßt sich anstelle der Volumenkorrektur eine Druckkorrektur, bedingt durch die Verminderung der thermodynamischen Teilchenzahl, errechnen (siehe Spalten 23 u. 24).

In den Spalten 18 und 19 ist der aus der Kondensationswärme stammende korrigierte Anteil der mechanischen Energie und in den Spalten 19 und 20 der aus der adiabatischen Gasarbeit stammende korrigierte Anteil derselben errechnet. Der gesamte korrigierte Energieanteil ist in den Spalten 21 und 22 zu finden.

In den Spalten 26 und 28 ist der trockenadiabatische Temperaturverlauf aufgelistet, der entsteht, wenn die im "Speicher" befindliche mechanische Energie schrittweise zur Kompression abgerufen wird.

In Spalte 25 und 2 ist der abgerufene Energieanteil aus dem Speicher aufgeführt. Die Berechnung des sich dabei ergebenden Volumens (Sp. 29 u. 30) muß noch nachgeholt werden.

In Spalte 31 wurde die spezifische Entropie aus der Tafel übertragen und in den Spalten 32 und 33 die gewichtsbezogene "Systementropie" aufgelistet. Diese errechnet sich aus:

S''20 = S''20 (1-Y20) und S''28 = s''28  (1-Y28)

wobei s'' = gewichtsbezogene spezifische Entropie in kj/kg Grad und S'' = Systementropie in kj/Grad ist.

Interessant dabei ist, daß die Systementropie annähernd konstant bleibt. Zur Kontrolle für die Richtigkeit der Rechnung wird mit dem in verschiedenen Physikbüchern angegebenen "Kochrezept" zur Ermittlung der Kondensatmenge im TS-Diagramm und im van der Waalschen Bereich unterhalb der Sattdampflinie verglichen:

s1'' = spez. Entropie bei 28°C mit 8,495 kj/kg Grad
s2'' = spez. Entropie bei -5°C mit 9,2923 kj/kg Grad

Der Streckenvergleich ergibt für die spez. Kondensatmenge:

unter Vernachlässigung von s2'.

in Zahlen:

Durch Vergleich mit Sp.12, Zeile 5 erhält man für y2 = 0,08614 kg in guter Übereinstimmung (Abweichung+0,4 %). Durch Berücksichtigung der Teilchenminderung erhält man:

in Werten:

Der Vergleich mit Spalte 16, Zeile 5, zeigt ebenfalls mit Y2 = 0,0787 kg gute Übereinstimmung. Für die Systementropie ergibt sich:

S2'' = (G1 - Y2) · s2''

8,561 kj/Grd = (1 kg - 0,0787 kg) · 9,2923 kj/kg Grd

in Übereinstimmung mit Spalte 33, Zeile 4 bei -5°C.

Die gewichtsbezogene spez. Systementropie (als Anlage nicht aufgeführt) ergibt sich aus:

in Werten:

Sie wird damit um 0,04% kleiner als s'' = 8,495 kj/kg Grd.

Vertiefende theoretische Betrachtungen über die verschiedenen, sehr vielfältigen Entropie- und Wärmearten werden nicht hier, sondern im "Neubau der Theorie" (NBT) und in der "Neuen Kinetischen Theorie" (NKT) angestellt.

Für die Prozeßrechnung der Maschine hätte man diese Untersuchung des reinen Wasserdampfes quantitativ vernachlässigen können, doch ist eine solche Lücke erfahrungsgemäß ein Hindernis für die Nachvollziehbarkeit der Berechnung und Ansatzpunkt für unqualifizierte Kritik.

Interessant dabei ist, daß bereits der feuchtadiabatisch expandierende Wasserdampf zur Kondensation neigt und ein pseudo-isothermisches Verhalten zeigt. Dies ist auch bei anderen van der Waalschen Gasen bzw. Dämpfen zu erwarten, insbesondere bei solchen mit Dipolmolekülen und großer Elektronennegativität (H-Brückenbildung) wie z.B. bei Ammoniak.

Die Realisierung einer Maschine mit Wasserdampf ist zwar nicht unmöglich, doch würde dieses Vorhaben durch vermeidbare technologische Schwierigkeiten erschwert. Diese sind:

In der Fortführung der Arbeit nutzen wir das Daltonsche Gesetz über die Partialdrucke, die sich im "Speziellen Gaszustand" zum Gesamtdruck nach Mischung addieren lassen.

In der Weiterführung der Prozeßrechnung wird Dampf und translatorisches Edelgas im Ungleichgewichtszustand der adiabatischen Expansion des Kolbenmodells jeweils getrennt berechnet.

Zum Ergebnis gelangt man durch die "Überlagerungsmethode", die den Temperaturausgleich (Nullter Hauptsatz nach [42]), Druck, spez. Volumen, Kondensationsprozeß und mittleren Adiabatenexponent nach den Regeln der Mischungsrechnung Schritt für Schritt erfassen läßt.

Für das trockene Edelgas wird mit dem reduzierten Volumen des Wasserdampfes V28, Sp. 12, von der Ausgangstemperatur von 28°C (301,16°K) gerechnet. Man kann so den Eigenkondensationsanteil des Wasserdampfes aus Sp. 16 übernehmen.

Das Druckverhältnis Dv beschreibt das ganze Vielfache des Edelgasdruckes pG im Verhältnis zum Wasserdampfpartialdruck p'' = 3780 N/m bei der jeweils gewählten Umgebungstemperatur Tu = 301,16°K beim Start der negativen Adiabate.

Dv = pG/p''

Vorgesehene Größen von Dv sind:
Dv = (reiner Wasserdampf, wie bereits vollzogen).
Weiterhin Dv = 1; 2; 4; 10; 15 und 25.
Das relative Volumenverhältnis Vr als Verhältnis des Volumens V2 bezogen auf das Startvolumen V1 = 36,765 m3.

Vr = V2/V1 (Spalte 35)

Daraus errechnen sich für gleiche Vr auch gleiche relative Temperaturen Tr nach der Beziehung:
Tr = Vr·e(1-æ) (Sp. 36)
wobei æ = Adiabatenexponent= Cp/Cv = 1,667 ist.

Aus der Beziehung TG = Tr·Tu ergibt mit Tu = 301,15 K die jeweilige Temperatur des trockenen Edelgases im Fortschritt der Expansion (Sp. 37).

Der relative Druck PGr in Sp. 38 errechnet sich aus der Beziehung:

PGr = Vr · e

Nun erfolgt die rechnerische Überlagerung und Mischung: Das bei gleichem Vr wesentlich stärker abgekühlte Edelgas steht in einem inneren Wärmeaustausch mit dem pseudoisothermen, nunmehr eingebetteten Wasserdampf, kühlt diesen geringfügig unter verstärkter Kondensation ab und heizt mit dieser Kondensationswärme das rein translatorische Edelgas erheblich auf. Gleichzeitig vermindert sich der Partialdruck des restlichen Sattdampfes und vergrößert sich der Edelgaspartialdruck im Maße der Mischungstemperaturerhöhung isochor.

Der jeweilige Gleichgewichtszustand ist nach dem Energieerhaltungsprinzip dadurch bestimmt, daß die Wärmemenge aus Kondensation und Enthalphieänderung des Restdampfes unter Berücksichtigung der Mengenänderung bei der Abkühlungsrate einerseits und der Wärmeaufnahmefähigkeit des Edelgases bei der Aufheizrate andererseits, entgegengesetzt und bei Erreichen der einheitlichen Mischungstemperatur gleich groß sein muß.

1 m3 eines Edelgases hat unter Normalbedingungen eine rein translatorische Wärmekapazität von Cov = 555,8678 j/m3 Grd.

Umgerechnet auf das Startvolumen des Kolbenmodells unter Zugrundelegung von Dv = 1 bei p'' = 3780 N/m und T1 = 301,15 K, ergibt sich eine Wärmekapazität des Edelgases, unabhängig von seinem Atomgewicht von

Cw = Dv · 0,6922 kj/Grd

Es bedeuten:

Ye (kg)= Menge des zusätzlichen Kondensatanteils, entstanden durch die Aufheizung des Edelgasanteils
Td (K)= Absolute Temperatur der reinen Naßdampfkomponente
Tg (K)= Absolute Temperatur der reinen Edelgaskomponente
Tm (K)= Absolute Temperatur der Mischung
Ts (K)= Absolute Temperatur bei Start der Expansion (293,16 K oder 301,16 K)
hm'' (kj/kg)= Enthalpie der Sattdampfkomponente bei Tm
hm' (kj/kg)= Enthalpie des Kondensats bei Tm
hs'' (kj/kg)= Enthalpie des Sattdampfes bei Ts
hs' (kj/kg)= Enthalpie des Kondensats bei Ts
Cvd (kj/kg·K)= isochorische spez. Wärme des reinen Dampfes;

Die Teilwärmemenge aus der Zusatzkondensation Qk = Ye (hm''-hm') ist genau so groß wie die von der kälteren Edelgaskomponente aufgenommene Teilwärme.

Qe = Cw (Tm-Tg)

Berücksichtigt man noch die sich geringfügig mit der Temperatur verändernde Enthalpiedifferenz hm'' - hm' = hs'' - hs' + 2,36 (Ts-Tm), so ergibt sich:

Tm erhält man aus dem folgenden Ansatz: Die Gesamtwärme der Mischung (Qm) addiert sich aus der Gesamtwärme der Dampfkomponente (Qd), der Gesamtwärme der Gaskomponente und des übertragenen Wärmeanteils aus der Zusatzkondensation Qe.

Qm = Qd+Qg+Qe

Cvd (1-Y-Ye) Tm+Cw·Tm = Cvd·Td+Cw·Tg+Ye (hm''-hm')

Umgestellt ergibt sich:

In beiden Gleichungen sind die unbekannten Größen Tm und Ye enthalten. Man erhält das exakte Ergebnis durch eine "Näherungsschleife" (Iteration). Setzt man in die Gleichung für Ye wegen des pseudoisothermen Verhaltens der Feuchtadiabate anstelle von Tm die Dampftemperatur Td ein, so erhält man bereits einen guten Näherungswert für Ye, der, eingesetzt in die Bestimmungsgleichung für Tm, bereits beim nächsten oder übernächsten Schritt genaue Werte ergibt.

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http://fluidmotor.com/motor/wirbel6.shtml , zuletzt geändert 01. 08. 2010

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